Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы будем исполизовать следующий план:

  1. Смотрим квадратная ли матрица. Если квадратная, то переходим к следуюшему пункту. Если нет, то обратной матрицы не существует.
  2. Находим определитель. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
  3. Находим алгебраические дополнения и составляем из них новую матрицу.
  4. Полученную матрицу транспонируют.
  5. Каждый элемент полученой матрицы поделим на определитель исходной матрицы. Полученная матрица и будет обратной.
  6. Для проверки нужно перемножить обратную и исходную матрицы. Если получилась еденичная матрица, то обратная матрица найдена правильно.

Пример:
Дана матрица

1. Она квадратная, значит  обратная матрица существует.
2. Найдем определитель

Наш определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует и нам придется считать дальше.
3. Найдем алгебраические дополнения:









и составим из них матрицу:

4. Далее транспонируем полученную матрицу:

5. Поделим каждый элемент полученной матрицы на определитель исходной:

Вот мы и получили обратную матрицу.
6. Для проверки умножим полученную матрицу на исходную:



Для упрощения проверки можно умножить транспонираванную матрицу на исходную и поделить каждый элемент на определитель.